离散拓扑(discrete topology)一类特殊的拓扑。设X为任意非空集合，则由X的所有子集组成的拓扑称为X上的离散拓扑。它是X上的最细拓扑。由此得到的拓扑空间称为离散拓扑空间或离散空间。

比如，幂集就是一个离散拓扑。幂集是指一个集合中所有子集的集合，包括空集和集合本身。例如，对于集合A={a, b}，其幂集P(A)包含A的所有子集，即P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}，其中∅表示空集，{a}、{b}和{a, b}分别是集合A的子集。‌

在离散拓扑空间中，单点集是开集的原因可以从离散拓扑的定义出发进行解释。

离散拓扑空间定义了所有的子集都是开集。这意味着，对于任何集合X，其所有子集都被认为是开集。因此，对于任何点x∈X，包含该点的单点集{x}自然也是开集，因为它是X的一个子集‌。

具体来说，离散拓扑空间的定义如下：

‌定义中子集为开集‌：

在离散拓扑中，拓扑T包含X的所有子集。这意味着对于任何子集A⊆X，都有A∈T。

‌满足开集公理‌：

离散拓扑满足开集公理，即对于任何U∈T，有U∪V∈T（并集封闭）和U∩V∈T（交集封闭），其中U,V∈T‌。

由于离散拓扑定义了所有子集为开集，因此任何单点集{x}作为X的一个子集，自然也是开集。这是因为离散拓扑空间中的每一个子集都被认为是开集，包括单点集。

这种定义方式使得离散拓扑空间在分析中非常有用，因为它允许我们处理最一般的情况，即每个点都是孤立的。

在拓扑空间中，单点集是闭集的证明可以通过以下方式进行：

首先，我们需要明确拓扑空间的定义。拓扑空间（X, τ）是一个集合X，以及X的一个子集族τ，这个子集族满足一些基本的性质。

然后，我们可以设集合S= {a}，它没有聚点，所以导集为空集，从而导集包含于S。利用定义可得到是闭集。